ENSCK 2024 Mathématiques

Question 1 :

Soit $f(x) = x^4 - 4$.

A) le point (0, -4) est un maximum de $f$ sur $\mathbb{R}$

B) (0, -4) est un point d'inflexion de $f$ sur $\mathbb{R}$

C) $C_f$ possède une tangente verticale en (0, -4)

D) le point (0, -4) est un minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$

Question 2 :

Soit $f$ la fonction définie sur $\left]\frac{\pi}{3}, \pi\right[$ par $f(x) = x - 2\sin x$.

A) $f$ ne s'annule pas sur $\left]\frac{\pi}{3}, \pi\right[$

B) $\exists c \in \left] \frac{\pi}{3}, \pi \right[ \quad f'(c) = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{3}{\pi}$

C) $f$ est strictement décroissante sur $\left]\frac{\pi}{3}, \pi\right[$

D) $f$ est concave

Question 3 :

On considère la fonction $f$ donnée par $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - x + 1}{3x^2 + 6}, & \text{si } x \geq 1 \\ \frac{1}{x^2 - x} \sin \frac{\pi}{2}x, & \text{si } x < 1 \end{cases}$

A) $f$ est continue en 1

B) $f$ possède un prolongement par continuité en 0

C) $f$ possède une limite finie en 1

D) $f$ possède une limite finie en 0

Question 4 :

Soit $P$ une fonction polynomiale de degré $n$ impair. L'équation $P(x) = 0$ possède

A) $n$ solutions réelles

B) pas de solutions réelles

C) au moins une solution réelle

D) au moins $n$ solutions réelles

Question 5 :

Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $0 < a < b$. On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $\forall n \in \mathbb{N} \quad \begin{cases} u_0 = a \\ u_{n+1} = \frac{2 u_n v_n}{u_n + v_n} \end{cases} \quad \text{et} \quad \begin{cases} v_0 = b \\ v_{n+1} = \frac{u_n + v_n}{2} \end{cases}$

A) $(u_n)$ est décroissante et $(v_n)$ est croissante

B) $\forall n \in \mathbb{N} \quad u_n > v_n$

C) $\forall n \in \mathbb{N} \quad v_{n+1} - u_{n+1} > \frac{1}{2} (v_n - u_n)$

D) la suite $(u_n, v_n)_{n≥0}$ est constante

Question 6 :

$\int_0^{\pi/2} x \sin x \cos x \, dx =$

A) $\frac{\pi}{8}$

B) $\frac{\pi}{4}$

C) $\frac{1}{2}$

D) $\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}$

Question 7 :

Soit $f(x) = \sin^3 x \cos x$. La linéarisation de $f$ est donnée par

A) $\frac{-\sin 4x}{8} + \frac{1}{4} \sin 2x$

B) $\frac{-\cos 4x}{8} + \frac{1}{4} \sin 2x$

C) $\frac{\cos 4x}{8} + \frac{1}{4} \cos 2x$

D) $\frac{-\sin 4x}{8} + \frac{1}{4} \cos 2x$

Question 8 :

Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ telle que $f(0) = f(1) = \frac{1}{2}$.

A) $f([0, \frac{1}{2}]) \subset [\frac{1}{2}, 1]$

B) $\exists c \in ]0,1[ \quad f(c) = c$

C) $\exists c \in ]0,1[ \quad f'(c) = 0$

D) $\exists c \in ]0,1[ \quad f(c) = \frac{1+c}{1-c}$

Question 9 :

Soient $S$ la sphère d'équation $x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 2y - 4z = 0$ et $P$ le plan d'équation $4x - 3y + 10 = 0$.

A) $P$ coupe $S$ selon un disque

B) $P \cap S = \emptyset$

C) $P$ est tangent à $S$

D) Le centre de $S$ appartient à $P$

Question 10 :

Soit le nombre complexe $z = i$

A) $z^{\frac{1}{2}} = -\sin(\frac{\pi}{4}) + i \cos(\frac{\pi}{4})$

B) $z^4 = -1$

C) $z^i = e^{-\frac{\pi}{2}}$

D) $Im(z^{-i}) = e^{\frac{\pi}{2}}$

Question 11 :

Soit le nombre complexe $z = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$

A) la forme algébrique de $\frac{1}{z} = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{i}{4}$

B) $|z| = 4$

C) $Im(z^3) = -4\sqrt{3}$

D) $Re(z^2) = 2\sqrt{3}$

Question 12 :

Soient les nombres complexes $a = 1 + i, b = 1 - i\sqrt{3}$ et $z = \frac{a}{b}$, $\arg(z) \equiv$

A) $\frac{7\pi}{12} [2\pi]$

B) $\frac{5\pi}{6} [2\pi]$

C) $\frac{6\pi}{5} [2\pi]$

D) $\frac{12\pi}{7} [2\pi]$

Question 13 :

Un dé équilibré à six faces est lancé quatre fois. La probabilité d'obtenir deux fois la face six

A) $\frac{16}{216}$

B) $\frac{25}{216}$

C) $\frac{2}{76}$

D) $\frac{16}{76}$

Question 14 :

Dans une clinique, 5% des patients sont atteints d'une maladie rare. Un test de dépistage pour cette maladie a une sensibilité (probabilité de détecter correctement la maladie) de 98% et une spécificité (probabilité de détecter correctement l'absence de la maladie) de 97%. La probabilité qu'un patient soit malade et obtienne un test négatif

A) 0.001

B) 0.002

C) 0.01

D) 0.02

Question 15 :

La probabilité qu'un patient ne soit pas malade et obtienne un test positif

A) 0.0145

B) 0.015

C) 0.019

D) 0.0285

Question 16 :

Les solutions, dans $\mathbb{C}$, de l'équation $z^4 + z^2 = 6$

A) $\pm i\sqrt{2}$ et $\pm \sqrt{3}$

B) $\pm i\sqrt{2}$ et $\pm i\sqrt{3}$

C) $\pm i\sqrt{3}$ et $\pm \sqrt{2}$

D) $\pm \sqrt{2}$ et $\pm \sqrt{3}$

Question 17 :

Soit $(u_n)$ une suite telle que $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$. $\lim_{n \to +\infty} \frac{\sin n + \cos n}{1 + \frac{1}{u_n}} =$

A) $+\infty$

B) 2

C) n'a pas de limite

D) 0

Question 18 :

$\lim_{n \to +\infty} u_n (xe^x - \frac{x}{e^{-x}}) =$

A) $+\infty$

B) 1

C) n'a pas de limite

D) 0

Question 19 :

$\forall n \in \mathbb{N} \quad \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\Pi_{k=1}^n (1 - \sin^k x)}{\cos^{2n}x} =$

A) $\frac{1}{2^n}$

B) 0

C) n'a pas de limite

D) $\frac{n!}{2^n}$

Question 20 :

On muni le plan complexe d'un repère orthonormé $(0, \overline{u}, \overline{v})$. Soient $A, B, C$ les points d'affixes respectives $z_A, z_B, z_C$ avec $z_A = 1 - i$, $B$ le symétrique de $A$ par rapport à l'origine, la partie réelle de $z_C$ est positive et le triangle (ABC) est un triangle rectangle isocèle en $A$.

A) $|AB| = 3\sqrt{2}$

B) $z_B = -1 - i$

C) $\arg(z_C) \equiv \pi[2\pi]$

D) $z_C = 3+i$

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Question 1 :

Question 2 :

Question 3 :

Question 4 :

Question 5 :

Question 6 :

Question 7 :

Question 8 :

Question 9 :

Question 10 :

Question 11 :

Question 12 :

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Question 19 :

Question 20 :

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